考研数学学习笔记--数列极限

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考研数学学习笔记--数列极限

数列

常见的数列

等差数列

通项公式：an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d
前n项和：Sn=n2[2a1+(n−1)d]=n2(a1+an)S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\frac{n}{2}(a_1+a_n)

等比数列

通项公式：an=a1rn−1a_n=a_1r^{n-1}
前n项和：Sn=na1(r=1)S_n=na_1 (r=1) Sn=a1(1−rn)1−r(r≠1)S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r} (r\neq1)

常见数列的前n项和

∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}

∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

∑k=1n1k(k+1)=nn+1\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}

重要数列 {(1+1n)n}\{(1+\frac{1}{n})^n\} 的结论

  1. 单调递增有上界
  2. limn→∞(1+1n)n=elim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e(第二重要极限)

数列极限

定义：limn→∞xn=alim_{n\to\infty}x_n=a

limn→∞xn=alim_{n \to \infty}x_n = a ⇔\Leftrightarrow ∀ε>0,∃N>0\forall \varepsilon >0, \exists N>0，当 n>Nn>N 时，有 ∣xn−a∣<ε|x_n-a|<\varepsilon

且当 a=0a=0 时，称 xnx_n 为 n→∞n\to \infty 的无穷小量

定理1

若数列{an}\{a_n\}收敛，则其任何子列均收敛，且极限相等

反之若数列的任意一个子列发散，原数列也发散

一个结论

limn→∞xn=Alim_{n\to\infty}x_n=A ⟹\Longrightarrow limn→∞∣xn∣=∣A∣lim_{n\to\infty}|x_n|=|A|，反过来不成立
limn→∞xn=0lim_{n\to\infty}x_n=0 ⟹\Longrightarrow limn→∞∣xn∣=0lim_{n\to\infty}|x_n|=0，此结论对函数也成立

收敛数列的性质

定理2：唯一性

极限存在必唯一

定理3：有界性

数列极限存在原数列必有界

定理4：保号性

脱帽法(严格不等)

limn→∞xn>0⟹xn>0lim_{n \to \infty}x_n>0\Longrightarrow x_n>0
limn→∞xn<0⟹xn<0lim_{n \to \infty}x_n<0\Longrightarrow x_n<0

戴帽法(非严格不等)

xn≥0⟹limn→∞xn≥0x_n\geq0\Longrightarrow lim_{n \to \infty}x_n\geq0
xn≤0⟹limn→∞xn≤0x_n\leq0\Longrightarrow lim_{n \to \infty}x_n\leq0

极限四则运算

简单概括运算规律

存在+存在=存在
存在+不存在=不存在
不存在+不存在=不确定

海涅定理（归结原则）

即在极限存在的情况下，函数极限和数列极限可以相互转化

常用形式

  1. 当x→0x\to0时，取xn=1nx_n=\frac{1}{n}，即若limx→0f(x)=Alim_{x\to0}f(x)=A，则 limn→∞f(1n)=Alim_{n\to\infty}f(\frac{1}{n})=A
  2. 当x→+∞x\to+\infty时，取xn=nx_n=n，即若limx→+∞f(x)=Alim_{x\to+\infty}f(x)=A，则 limn→∞f(n)=Alim_{n\to\infty}f(n)=A
  3. 当xn→ax_n\to a时，且xn≠ax_n\neq a时，若limx→0f(x)=Alim_{x\to0}f(x)=A，则 limn→∞f(xn)=Alim_{n\to \infty}f(x_n)=A

夹逼准则

常用放缩法

简单放大缩小

无穷项相加：n⋅umin≤u1+u2+u3+…+un≤n⋅umaxn\cdot u_{min}\leq u_1+u_2+u_3+…+u_n\leq n\cdot u_{max}

有限项相加：1⋅umax≤u1+u2+u3+…+un≤n⋅umax1\cdot u_{max}\leq u_1+u_2+u_3+…+u_n\leq n\cdot u_{max}

结论

当 0<a<b0 < a < b ，lim⁡n→∞(a−n+b−n)1n=lim⁡n→∞(1a)n+(1b)nn=1a\lim_{n\to\infty}(a^{-n}+b^{-n})^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{1}{a}\right)^{n}+\left(\frac{1}{b}\right)^{n}}=\frac{1}{a}
当 0⩽x⩽π20\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{2}时， lim⁡n→∞sin⁡nx+cos⁡nxn={cos⁡x,0⩽x⩽π4,sin⁡x,π4<x⩽π2\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\sin^{n}x+\cos^{n}x}=\begin{cases}\cos x,&0\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{4},\\\sin x,&\frac{\pi}{4}<x\leqslant\frac{\pi}{2}\end{cases}
或 lim⁡n→∞1+x3nn={1,∣x∣⩽1,∣x∣3,∣x∣>1\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1 + x^{3n}}=\begin{cases}1,&|x|\leqslant 1,\\|x|^{3},&|x|>1\end{cases}

重要不等式

常用重要不等式

  1. ∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣|a\pm b|\leq|a|+|b|
  2. ∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣||a|-|b||\leq|a-b|
    可以将上述不等式aa推广为nn个实数的情形，即
    ∣a1±a2±⋯±an∣≤∣a1∣+∣a2∣+⋯+∣an∣\left|a_{1}\pm a_{2}\pm\cdots\pm a_{n}\right|\leq|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots+|a_{n}|.
  3. ab≤a+b2≤a2+b22\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}，其中a,b为非负数
  4. ∣ab∣≤a2+b22|ab|\leq\frac{a^2+b^2}{2}
  5. abc3≤a+b+c3≤a2+b2+c23(a,b,c≥0)\sqrt[3]{abc}\leq\frac{a + b + c}{3}\leq\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}(a,b,c\geq0)
  6. 设a≥b≥0a\geq b\geq0，则
    {当m>0时,am≥bm,当m<0时,am≤bm\begin{cases}当m > 0时,a^{m}\geq b^{m},\\当m < 0时,a^{m}\leq b^{m}\end{cases}
  7. 若0<a<x<b0 < a < x < b，0<c<y<d0 < c < y < d，则cb<yx<da\frac{c}{b}<\frac{y}{x}<\frac{d}{a}
  8. sin⁡x<x<tan⁡x(0<x<π2)\sin x<x<\tan x\left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right)
  9. sin⁡x<x(x>0)\sin x<x(x > 0)
  10. 当0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4}时，x<tan⁡x<4πxx<\tan x<\frac{4}{\pi}x
  11. 当0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}时，sin⁡x>2πx\sin x>\frac{2}{\pi}x
  12. arctan⁡x≤x≤arcsin⁡x(0≤x≤1)\arctan x\leq x\leq\arcsin x\left(0 \leq x \leq 1\right)
  13. ex≥x+1e^x\geq x+1
  14. ln⁡x≤x−1(x>0)\ln x\leq x-1(x>0)
  15. 11+x<ln⁡(1+1x)<1x(x>0)\frac{1}{1 + x}<\ln(1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}(x > 0) 或 x1+x<ln⁡(1+x)<x(x>0)\frac{x}{1 + x}<\ln(1 + x)<x(x > 0)

闭区间上连续函数必有最大值与最小值

压缩映射原理

原理一

对数列 {xn}\{x_{n}\}，若存在常数 k(0<k<1)k(0 < k < 1)，使得 ∣xn+1−a∣≤k∣xn−a∣,n=1,2,⋯|x_{n + 1}-a|\leq k|x_{n}-a|,n = 1,2,\cdots，则 {xn}\{x_{n}\} 收敛于 aa
证明：使用夹逼准则

原理二

对数列 {xn}\{x_{n}\}，若 xn+1=f(xn),n=1,2,⋯x_{n+1}=f(x_{n}),n = 1,2,\cdots，f(x)f(x) 可导，aa 是 f(x)=xf(x)=x 的唯一解，且对任意 x∈Rx\in\mathbf{R}，有 ∣f′(x)∣≤k<1|f^{\prime}(x)|\leq k < 1，则 {xn}\{x_{n}\} 收敛于 aa
证明：使用拉格朗日中值定理

单调有界准则

单调有界数列必有极限，即：

单调递增有上界，或单调递减有下界，则极限存在

证明数列单调性的常用方法

  1. 作差或作商
  2. 数学归纳法
  3. 重要不等式(夹逼准则)
  4. xn−xn−1x_n-x_{n-1}与xn−1−xn−2x_{n-1}-x_{n-2}同号
  5. 令xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_n)，xn∈Ix_n\in I

若f′(x)>0f'(x)>0，则数列单调，且 x1>x2x_1>x_2 时，数列单增，否则单减
若f′(x<0f'(x<0，则数列不单调