已知 f(x) 连续,证明
limΔx→0∫abΔxf(x+Δx)−f(x)dx=f(b)−f(a)
正确做法
分母 Δx 在对 dx 积分时,可以将其视作 常数 提到积分号外边,变成
limΔx→0Δx∫ab[f(x+Δx)−f(x)]dx
分子分别对 f(x+Δx)−f(x) 和 f(x) 积分,由于此时 Δx 视为常数,则有
limΔx→0Δx∫abf(x+Δx)d(x+Δx)−∫abf(x)dx
对前一个式子,令 t=x+Δx ,有t∈(a+Δx,b+Δx),构造成 变上下限积分函数
limΔx→0Δx∫a+Δxb+Δxf(t)dt−∫abf(x)dx
由于Δx→0,且函数连续,则有 ∫a+Δxb+Δxf(t)dt−∫abf(x)dx→0,使用洛必达法则可得
limΔx→0[f(b+Δx)−f(a+Δx)]=f(b)−f(a)
这里 ∫abf(x)dx 的结果是一个常数,故求导后为0
得证
常见错误
将定积分与求极限交换次序,内部由导数定义式写成 ∫abf′(x)dx 直接得到 f(b)−f(a)
- 多层极限不能随意交换次序 (定积分的定义仍然是极限)
- 函数连续不一定可导
- 存在导函数不一定可以求定积分,但是可以求不定积分
对于 3 ,可以举出反例
∫02πsec2xdx
本题中 sec2x 原函数为 tanx ,但是 tanx 在 2π 处无定义,考虑反常积分
但是 limx→2πtanx 不论是单侧极限或是极限均不存在,故不能求定积分,但是可以有不定积分
∫sec2xdx=tanx+C