当 x→0时,1−cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小,求n与a的值
首先列出表达式
limx→0axn1−cosxcos2xcos3x=1
虽然本题为 00 型未定式,可以考虑使用洛必达法则,但是求导非常麻烦
据说连续洛7次可以算出结果,未验证
或者使用泰勒公式展开分子,但是展开后为 多项式×多项式×多项式 很容易出错
这里注意到分子分母均为无穷小,可以想到等价替换,使用下面的结论
对任意的 f(x) 若满足limx→x0f(x)=1,则有lnf(x)~f(x)−1
因此,有
limx→0axn1−cosxcos2xcos3x=limx→0axn−lncosxcos2xcos3x=limx→0axn−(lncosx+lncos2x+lncos3x)=limx→0axn−lncosx+limx→0axn−lncos2x+limx→0axn−lncos3x=limx→0axn1−cosx+limx→0axn1−cos2x+limx→0axn1−cos3x=limx→0axn7x2=1
所以a=7,b=2